Наличие параметра в школьной задаче (уравнении или неравенстве) часто ставит школьника в тупик. Одно дело буква-параметр в формуле, здесь понятно, что куда подставлять, совсем другое – в такой ситуации. Это некий вызов, загадка, повод задуматься. С чего начать осмысление условий? Как провести эксперимент, для каких конкретных значений параметра проверить, что получится?

Попытки ответить на эти вопросы формируют исследовательские навыки, логическое мышление, математическую культуру, позволяют по-новому взглянуть на факты школьной программы. Считаю этот класс задач весьма полезными. То, что задачи этого типа включены в ЕГЭ (С5), дает моральное право обсуждать их в рамках школьной программы.

Возьмем класс задач, легко переводящихся на геометрический язык, имеющих графическую интерпретацию. В нематематическом классе научить ребят не бояться таких задач и предпринимать хоть какие-то попытки их решения помогает использование математического конструктора. В нашем случае это популярная программа «Живая математика». В этой среде легко вводится параметр, не только дискретный, но и непрерывно меняющийся. Меняя параметр, школьник наблюдает за изменением функции, пытается осмыслить, с чем это связано. Возникает интерес. В лучшем случае появляется аналитическое решение

Важно не откладывать знакомство с такими задачами до 11 класса, а уже в 9 отработать многие нужные навыки.

На примере задачи, доступной девятикласснику, проследим за поиском решения  f(x) = h(x) = ǀxǀ - x²

Задача. [1, стр. 23]. При каком значении a максимум функции f(x) = ǀx - aǀ - x² больше или равен 1?

1. Как раскрыть модуль, ведь мы не знаем, чему равно a? Модуль всегда не очень удобен. А тут еще a. Давайте посмотрим при a = 0. Тогда f(x) = h(x) = ǀxǀ - x². Вполне по силам. Видим два «куска» парабол. И то, что a = 0 нам не подходит;
2. Обратим внимание на непрерывность функции. И при каком значении переменной при фиксированном a склеиваются две части. Это уже интересней и понятней на динамической картинке;
3. Меняя значения параметра, наблюдаем за изменением картинки. Видим количество локальных максимумов в зависимости от a, замечаем, который из двух, когда их два, является максимумом f(x);
4. Наблюдаем, как связано количество локальных максимумов в зависимости от положения прямой x = a относительно вершин склееных парабол функции h(x);
5. Понаблюдав все эти особенности, можно переходить к аналитическому решению задачи.

Работая над решением задачи таким образом, мы содержательно повторяем и метод выделения полного квадрата, и понятие непрерывности, и свойства модуля. Замечаем симметрию решения и т.д.

Задача легко клонируется, так что потратив определенное время, школьники могут решать вариации подобных задач уже без помощи компьютера.

Еще более содержательно моделируются задачи типа С5 из диагностической работы ЕГЭ от 3.03.11.