В последние 20–30 лет наметился разрыв между уровнем математических знаний выпускников школы и требованиями вузов. Как было отмечено в [1], это привело к тому, что большинству первокурсников присуще: а) неумение отличить то, что они понимают, от того, что они не понимают; б) неумение логически мыслить, отличать истинное рассуждение от ложного, необходимые условия от достаточных; в) неправильное представление о главном и второстепенном; г) неумение вести диалог: понять вопрос и ответить именно на него, сформулировать свой вопрос.

Именно для ликвидации этого разрыва при механико-математическом факультете МГУ имени М.В. Ломоносова около 25 лет назад были организованы классы в ряде московских школ. Преподавание математики, физики и информатики в них ведут сотрудники мехмата, а остальные предметы – опытные школьные учителя. Обучение в такой школе имеет главной целью развитие общей математической культуры. Главное – не набор приемов, методов и алгоритмов, а глубокая и всесторонняя фундаментальная подготовка, систематическое изучение методов решения тщательно классифицированных задач. Школьников учат «учиться»: планировать свое время; отвечать за уровень своих знаний; правильно формулировать задачу; уметь осмыслить, что и зачем решается.

Рассматриваются основные проблемы, возникающие в процессе функционирования профильных классов при мехмате МГУ, а также методические особенности процесса преподавания в таких классах на примере преподавания в школе № 25.

1. Мы принимаем школьников, которые по тем или иным причинам не могли до этого учиться у сильных учителей-математиков, но очень хотят за два года резко повысить свой уровень. При этом допускается достаточно средний уровень их «стартовой» математической подготовки. Условно говоря, для поступления нужно из шести стандартных задач для обычного 9-го класса правильно решить две задачи. Главным же при поступлении является желание учиться и потенциал кандидата, который мы оцениваем с помощью задач, не требующих особых базовых знаний, но требующих смекалки и сообразительности.

2. У учащихся класса в связи с вышесказанным оказывается довольно разный начальный уровень подготовки. Первый этап обучения, который длится примерно полгода, является в значительной степени повторительным. Он ставит своей задачей повышение уровня знаний у всех учащихся и уменьшение разрыва в уровне между самыми «сильными» и самыми «слабыми».

Повторение идет на качественно новом уровне. Важно, что с первого же урока вводится такое трудное для школьников понятие как «задачи с параметрами». С такими задачами до этого момента практически никто из школьников не сталкивался, задачи при этом встречаются довольно непростые. В результате «сильная» часть класса занимается трудными задачами с параметрами, при этом и при повторении «старого» материала учитель находит для них много интересных нюансов, о которых ранее они не знали. Те же, кто послабее, имеют возможность ликвидировать пробелы, но при этом они способны осваивать и значительную часть нового материала.

3. Обсуждаются проблемы оценивания деятельности учащихся на уроках математики. Сформулирован ряд принципов выставления школьных оценок в профильной школе [2].

4. Акцентируется внимание на некоторых методических особенностях преподавания математики в таких классах. В частности, активно используются методики, позволяющие развивать в школьниках самостоятельность, аналитическое мышление, самоконтроль и критическое отношение к излагаемому материалу. Например, при повторении материала учащимся предлагаются ошибочные способы решения задач (или решения с какими-то недочетами). При этом преподаватель никогда заранее не говорит о предстоящей ошибке. Это позволяет держать класс «в тонусе»: ученики привыкают к тому, что нельзя принимать «на веру» ни одну из фраз учителя. Тем самым в школьниках воспитывается абсолютно необходимый самоконтроль и критическое отношение к излагаемому материалу.

На примере ошибочных (или нерациональных) «решений» ученики глубже понимают тот или иной метод решения, выявляют какие-то тонкие места и нюансы методов решения. В процедуре поиска ошибок в предложенном решении задачи есть еще один важный момент: у школьника воспитываются необходимые навыки для того, чтобы потом находить ошибки и недочеты в собственных рассуждениях; он постепенно вырабатывает какие-то свои алгоритмы этого поиска. Без тренировки этого не происходит.

В процессе работы с классом применяются две формы представления таких «решений» учащимся.

Учитель может просто привести «решение» на доске. При этом он должен, проявляя определенный артистизм, быть в «скользких» местах как можно более убедительным. Часто бывает, что ученики замечают подвох, но бывает, что решение завершено, все «поняли» решение, никаких вопросов нет. И в таких случаях очень важно вывести аудиторию из «сонного» состояния, «взорвать» процесс, намекнуть на то, что в изложенном «решении» не всё в порядке. И дальнейший анализ задачи в этом случае обычно бывает гораздо полезнее для слушателей, чем «гладкое» решение.

Вторая форма состоит в том, что учитель раздает школьникам листочки с подборкой «решений» задач по данной теме. Задача учащихся – найти ошибки и исправить их. Эта форма работы очень полезна и для студентов – будущих педагогов.

Подобные методики могут применяться и при изложении теоретического материала: преподаватель умышленно дает неверную формулировку определения или теоремы (чаще всего опускается какое-то важное ограничение). Классический пример: неверное определение периодической функции: функция имеет период Т, если ее значения в точках х и х + Т совпадают. После того, как учитель давал такое неверное «определение», бывало, что урок длился еще 20–30 минут, пока кто-то из учеников не замечал необходимости добавления в это определение требований: а) $T > 0$; б) $x \in D(f)$ – области определения $f(x)$; в) $x-T \in D(f)$. Все это время преподаватель учитель должен аккуратно подводить школьников к противоречию.

В результате такого рода «ошибок» (и их подробного обсуждения после обнаружения) все учащиеся концентрируются на различных пунктах определения, их знание становится осознанным. Очевидно, что если бы сразу было дано верное определение, добрая половина школьников упустила бы этот важный момент.

5. С той же целью в процессе обучения также активно используются задачи с нестандартными формулировками условий. Мы полагаем, что привычные школьные задачи (решить уравнение, решить неравенство, найти сторону треугольника, найти точку максимума функции и т. д.) нужно время от времени «разбавлять» задачами необычного вида – от слегка непривычных до совсем нестандартных формулировок. Если этого не делать, то мы сталкиваемся с такими ситуациями: школьник умеет решать уравнение с неизвестным x, но теряется, когда вместо x в таком же уравнении стоит t; школьник, легко решая уравнение $f(x) = g(x)$, не может решить задачу «Найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$» и т. д.

Среди задач такого рода в первую очередь назовем задачи с неполными или избыточными условиями. Дело в том, что при постановке и решении реальных задач далеко не всегда имеется ровно столько данных, сколько требуется. Их может быть и меньше, и больше. Важно поэтому уметь из всех параметров задачи выделить существенные и отбросить малосущественные. Поэтому использование при обучении таких задач очень полезно. Предлагаются следующие типы задач.

А. Если в задаче используются какие-либо константы (например, радиус Земли, плотность вещества, скорость звука и т. п.), они, как правило, обычно задаются в условии. Мы же предлагаем не всегда это делать: учащийся должен самостоятельно понять, какие дополнительные данные ему необходимы, и найти их в литературе, интернете и т. п.

Б. Если задача предлагается для решения в классе, учитель может умышленно опустить какие-то детали. Ученики в процессе анализа задачи и ее решения, должны задать учителю определенные вопросы (тренируется умение задавать нужные вопросы!) и уточнить условие.

В. Из-за недостатка данных ученик должен рассмотреть несколько возможных ситуаций.

Г. Условие задачи действительно неполное и нет никакой возможности получить недостающие данные. В этой ситуации ученик должен самостоятельно прийти к выводу о том, что в условии «чего-то не хватает» и строго доказать нерешаемость задачи.

Д. Условие задачи избыточное. Поэтому для решения задачи используется часть условий. Остальные условия служат проверкой правильности решения задачи и ответа.

Е. Условие задачи избыточное. Для решения задачи используется часть условий. Но остальные условия приводят к противоречивой ситуации.

Задачи с противоречивым условием, вообще говоря, можно выделить в отдельный класс задач. Бывают ситуации, когда формально задача решается, ответ в ней получается. Ход решения верный, но ответ по той или иной причине не может быть признан правильным. Например, получено «1,5 землекопа» (как у двоечника в одном известном мультфильме), или скорость пешехода равна 100 км/час, или при решении геометрической задачи получается несуществующая конфигурация.

Также в отдельный класс стоит выделить провоцирующие задачи – задачи, условия которых содержат упоминания, намеки, подталкивающие решающего к выбору неверного пути решения или неверного ответа. Часто это бывают задачи-ловушки или задачи-шутки. Они способствуют воспитанию критичности, приучают к анализу и всесторонней оценке информации, повышают интерес к занятиям математикой.

6. Еще одним типом задач с нетрадиционной формулировкой являются прикладные задачи – имеются в виду задачи, в которых четкая математическая постановка в условии отсутствует. Учащийся должен самостоятельно построить математическую модель описанной в условии ситуации и только после этого решать математическую задачу. Чаще всего это бывают задачи с естественнонаучным содержанием, экономические и другие прикладные задачи.

Например, при изучении линейной функции вместо скучной и стандартной задачи 1, приведенной ниже, гораздо интереснее и полезнее дать учащимся задачу 2.

Задача 1. Линейная функция $f(x)=ax+b$ равна 32 при $x=0$ и равна 212 при $x=100$. При каком значении х функция равна 97,88?

3адача 2. В США принято указывать температуру по шкале Фаренгейта. По этой шкале вода замерзает при 32F, а кипит при 212F. Американский семиклассник сообщил утром маме, что не пойдет в школу – у него температура 97,88F. Является ли эта температура повышенной, нормальной или пониженной?

Математическое содержание обоих задач одинаковое, но в задаче 2 ученик вначале должен самостоятельно обратить внимание на то, что обе шкалы температур, а затем сделать вывод о том, что они связаны линейным законом: $C=aF+b$.

При изучении иррациональных уравнений задача 4 предпочтительней задачи 3.

Задача 3. Решить уравнение $\sqrt{ax}+bx=c$ при всех положительных значениях параметров a, b, c.

Задача 4. С вышки без начальной скорости был сброшен предмет. Время от момента сброса до приема звука от удара предмета о поверхность Земли составило t секунд. Найти высоту вышки h в предположении, что сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Опять-таки, получающиеся уравнения здесь идентичны. Но иррациональное уравнение в задаче 4 получено из «реальной» жизненной ситуации… Это немаловажно, т. к. школьникам иррациональные уравнения и неравенства очень часто представляются «ненужными» и «оторванными от жизни». Кроме того, в этой задаче можно наглядно проиллюстрировать, чему соответствует «лишний корень» иррационального уравнения.

Колоссальный потенциал заложен в прикладных задачах, допускающих несколько способов решения, особенно если среди них есть как алгебраическое, так и геометрическое решение.

Задача 5. Теплоход стоит на рейде на расстоянии 200 метров от прямолинейного берега и готовится к отплытию. Находящийся в момент времени 12:47 на расстоянии 1400 метров от теплохода опаздывающий пассажир бежит по берегу вдоль набережной. А) Через какое минимально возможное время пассажир окажется на месте стоянки теплохода, если он может плыть со скоростью 4 км/час, а по суше передвигается вдвое быстрее? Б) Успеет ли он на теплоход, если теплоход отплывает в 13:00?

В этой задаче возможно и алгебраическое решение, основанное на получении функции времени и дальнейшем нахождении минимума этой функции средствами математического анализа, и очень изящное чисто геометрическое решение, и еще одно геометрическое решение, основанное на точке Ферма-Торричелли-Штейнера в треугольнике, и даже физическое решение, основанное на законах преломления света. Подробный разбор в классе даже одной подобной задачи дает учащимся огромную пользу.