Необходимость при обучении школьников математике следовать УМК и календарному плану – не новость для учителя. Вышеуказанный документ определяет темы занятий, решаемые на уроках задачи, формы и содержание промежуточного контроля за успеваемостью. Информация об усвоении школьниками той или иной темы является важной, фактически основной в учебном процессе.

     Возникает настоящая задача получить информацию о том, как школьники усвоили конкретную тему. Какие есть способы получить эту важную информацию?

     1. Подготовить задачи для домашнего задания.

     2. Провести контрольную работу.

Согласно плану, это занимает много времени. Подготовка задания, проведение самой работы, ее проверка, оглашение результатов, разбор задач, переписывание… КПД этого мероприятия достаточно низок.

Возможно ли получить эту информацию более быстрым и интересным способом? Думаю, что в арсенале учителя должны быть задачи, затрагивающие одновременно разные темы школьной программы, позволяющие вовлечь школьников в обсуждение постановки задачи и способов решения. Стандартный подход к решению таких задач связан, как правило, с вычислительными трудностями, а понимание постановки задачи позволяет выбрать естественный (оптимальный) способ решения.

     Считаю, что регулярное использование таких задач оптимизирует учебный процесс как в части получения информации о понимании школьниками пройденных тем, так и в части налаживания диалога со школьниками, и, безусловно, повышает квалификацию учителя.

     Рассмотрим следующий пример: напишите уравнение прямой, проходящей через точки пересечения парабол:

$y = 2x^2+x+1$ и $y = -5x^2+2x+20$

Стандартный подход к решению состоит в нахождения координат точек пересечения парабол, что требует решения системы уравнений:

$$\left\{\begin{matrix} y = 2x^2+x+1 \\y = -5x^2+2x+20 \end{matrix}\right. (1)$$

Координаты точек пересечения будут иррациональные, как говорят школьники, «плохие» числа, которые еще нужно выписать без ошибок. А потом придется решать систему линейных уравнений относительно коэффициентов $k$и $b$ уравнения прямой $y=kx+b$ (тоже с иррациональными коэффициентами).

     Однако постановка задачи «написать уравнение прямой» означает, что необходимо установить линейную зависимость переменной $y$ от переменной $x$. Таким образом, достаточно в системе (1) избавится от $x^2$ и получить уравнение (линейную зависимость) – следствие: $y=\frac{9}{7}x+\frac{45}{7}$.

На курсах повышения квалификации, проводимых в МИОО, мы рассматриваем и всесторонне обсуждаем аналогичные «синтетические задачи» (задачи, которые охватывают несколько разных тем). Источниками таких задач являются классические сборники задач и олимпиады.