Типовые задания С4 в соответствии с демоверсией ЕГЭ по математике 2014 года

учитель математики, МБОУ Щелковская гимназия

Решение типовых задач С4, в соответствии с демоверсией 2014 года, состоит из двух частей. В первой части (пункт а) необходимо доказать, определенное свойство геометрической фигуры (или конфигурации фигур). Во второй части решения (пункт б), опираясь на доказанное свойство, необходимо решить задачу на нахождение значений величин.

Предлагаю подборку задач планиметрии, переработанных в соответствии с демоверсией 2014 года.

  1. Боковые стороны АВ и CD трапеции ABCD лежат на перпендикулярных прямых. Точки K, L, M и N – середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно.
    1. Докажите, что KLMN – прямоугольник.
    2. Найдите площадь прямоугольника KLMN, если боковые стороны трапеции равны 6 и 10.

Ответ: 15.

  1. Прямая, проходящая через середины диагоналей AC и BD трапеции ABCD, пересекает эти диагонали в точках K и L соответственно, а боковые стороны АВ и CD в точках M и N соответственно.
    1. Докажите, что MK = LN.
    2. Найдите меньшее основание трапеции, если KL = 4см, а большее основание трапеции равно 24 см.

Ответ: 16 см.

  1. Прямая, параллельная основаниям ВС и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны АВ и CD в точках M и N соответственно. Диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно.
  1. Докажите, что MK = LN.
  2. Найдите MN, если известно, что ВС = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.

Ответ: 6.

  1.   На большем катете прямоугольного треугольника АВС (угол С = 90°) как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу в точке Е.
    1. Докажите подобие треугольников ВСЕ и САЕ.
    2. Найдите радиус этой окружности, если меньший катет треугольника равен 7,5 см, а длина хорды СЕ равна 6см.

Ответ: 5 см.

  1. В прямоугольный треугольник АВС (угол С = 90°) вписана полуокружность с центром О так, что ее диаметр лежит на гипотенузе.
    1. Докажите, что АВ : ВС = АО : ОС.
    2. Найдите длину дуги полуокружности, заключенной между точками ее касания с катетами, если АО = 30, ВО = 40.

Ответ: 12p.

  1. В прямоугольный треугольник АВС (угол С = 90°) вписана окружность, касающаяся гипотенузы в точке Е.
    1. Докажите, что площадь треугольника S = АЕ · ВЕ.
    2. Найдите площадь прямоугольника, вписанного в треугольник АВС так, что одна его вершина совпадает с точкой С, а противоположная – с точкой Е, если АЕ = 6, ВЕ = 9.

Ответ: 8

  1. В прямоугольном треугольнике АВС (угол С = 90°) проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD равны 4 и 3
    1. Докажите подобие треугольников ACD и BCD, ACD и АBC.
    2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

Ответ: 5 см.

  1. Четырехугольник ABCD вписан в окружность Прямые AD и BC пересекаются в точке К.
    1. Докажите подобие треугольников KAC и KBD, KAB и KCD.
    2. Найдите DA : BC, если AB : DC = 1 : 2 и BD : AC = 2 : 3.

Ответ: 1: 4

Список литературы: 

1. Гордин Р.К. Это должен знать каждый матшкольник». – М.: МЦНМО, 2003.
2. Гордин Р.К. ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия. – М.: МЦНМО, 2012.
3. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. – М.: МЦНМО, 2006.
4. Сборник задач по математике для поступающих в вузы // Под ред. Сканави М.И. – М.: ОНИКС 21 век, 2003.
5. http://www.problems.ru/ Интернет–проект «Задачи», предназначенный для учителей и преподавателей, как помощь при подготовке уроков, кружков и факультативных занятий в школе. Проект МЦНМО, при участии школы 57.
6. http://www.math.ru/ Сайт для школьников, студентов, учителей и для всех, кто интересуется математикой.

Код публикации: 

2051

Издание: 

Страница в издании: 

25