Многие преподаватели в своей учебной практике не раз сталкиваются с проблемой выбора эффективного способа решения той или иной задачи. Например, преподаватели математики при вычислении некоторых неопределенных интегралов могут воспользоваться либо методом подстановки, либо методом подведения под знак дифференциала. Метод подстановки является наиболее популярным, однако во многих задачах достаточно тяжело указать вид замены. В силу этого в задачниках в качестве подсказки перед решением многих задач даются формулы замен. В этом смысле метод подстановки является «слепым методом». В противовес этому методу можно использовать метод подведения под знак дифференциала, в котором формула замены вытекает из предыдущих вычислений. В этом смысле метод подведения под знак дифференциала является методом «явной замены». Какой из этих двух методов эффективнее? Ответ на этот вопрос можно получить, если использовать описанную в этой работе теорию. Отметим, что вопрос об эффективности методов интересен не только для преподавателей математики, но и других дисциплин, а также учащихся.
Опишем математическую модель. Очевидно, что время Т решения задачи Z учащимся из группы G зависит от трех основных факторов:
— от интеллектуального уровня группы G;
— от квалификации преподавателя;
— от метода, используемого при решении данной задачи.
Предположим, что преподаватель P объясняет одной и той же группе G два метода решения задач определенного типа. Пусть Z – задача рассмотренного типа и
T1 – время решения задачи Z учащимся из группы G методом М1, а
T2 – время решения той же задачи Z учащимся из группы G методом М2.
В силу сделанных предположений для случайных величин первые два фактора уравнены, поэтому T1 и T2 отличаются только методами решения задачи Z. Следовательно, методы М1 и М2 можно характеризовать случайными величинами T1 и T2. Случайную величину можно представить числовыми характеристиками, о которых пойдет речь ниже.
Введем следующие числовые характеристики случайной величины Т (индекс опускается).
Эффективность e – математическое ожидание случайной величины Т.
Универсальность u – среднее квадратическое отклонение случайной величины Т.
Результативность 
, где sup – точная верхняя грань множества, P(T<t) – вероятность того, что случайная величина Т окажется меньше значения t.
Устойчивость результата s = f (r), где f (x) – функция плотности вероятностей случайной величины Т.
Усвоение метода 
, где inf – нижняя точная грань множества.
Введенные характеристики отражают различные стороны эффективности метода. Эффективность e отражает среднее время выполнения данной задачи группой учащихся. Универсальность u показывает разброс случайной величины около математического ожидания, т.е. зависимость метода от способностей учащихся. Результативность r представляет собой наилучший результат (минимальное время), полученный при решении задачи данным методом. Устойчивость результата s показывает, насколько случаен наилучший результат. Усвоение w отражает максимальное время, за которое решается данная задача любым подготовленным учащимся (сильным или слабым, способным или неспособным).
Оценивая выше описанные числовые характеристики по полученным статистическим данным, был проведен сравнительный анализ двух методов в теории интегрирования: метода подстановки (М1) и метода подведения под знак дифференциала (М2). Для эксперимента была выбрана задача на линейную подстановку:
Результаты сравнительного анализа методов в целом такие. Метод М1 по сравнению с методом М2 обладает следующими преимуществами: абсолютно лучшей эффективностью, в среднем лучшей универсальностью, возможно лучшей универсальностью, в среднем лучшей результативностью, абсолютно лучшим усвоением. Метод М2 обладает единственным преимуществом по сравнению с методом М1 – это абсолютно лучшая устойчивость результата. Исходя из сравнения характеристик, при решении задач подобного типа можно рекомендовать использование метода подстановки.