Наука – это громадный труд, долгая упорная работа

с неудачами и успехами. Чаще с неудачами.

О них только не пишут в научных статьях и не говорят.

А.Д. Александров 

Следуя пожеланиям ректора МГУ имени М.В.Ломоносова академика В.А. Садовничего сохранить в курсе школьной математики фундаментальный подход, рассмотрим несколько примеров неточностей и нечеткостей из школьных учебников и выскажем свои соображения на их счет.

1. Под видом метода «от противного» в школе используется метод исключения. Возьмем пример из действующего учебника [1, гл. VIII, § 4], где при доказательстве утверждения «Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырехугольника можно описать окружность» используется метод исключения. Действительно, в процессе доказательства выявляются три случая (три возможных положения вершины относительно окружности), и путем исключения двух из них (когда вершина находится вне и внутри окружности) рассуждения приводят к оставшемуся случаю — когда вершина лежит на окружности. Однако подается этот метод как метод «от противного», и это естественно, поскольку из всех косвенных методов доказательства в [1] заявлен только он.

Такая «подмена понятий» имеет корни в учебниках классиков, например, в учебнике А.П. Киселева [см.: 2, с. 25].

2. Иногда метод «от противного» отождествляется с методом «приведения к абсурду» [например, 2, c. 26; 3, c. 99].

«Суть его (метода «от противного» – Т.К.) отражена в самом названии. Вначале мы предполагаем, что утверждение теоремы неверно, после чего с помощью тех или иных рассуждений получаем противоречие либо с исходным предположением, либо с условием теоремы, либо с известным математическим фактом. По латыни этот метод называется reductio ad absurdum, что означает «приведение к абсурду» [3, с. 99].

Однако учителю, чтобы понять разницу между методом доказательства «от противного» и методом опровержения «приведением к абсурду» достаточно обратиться к учебнику по логике, например, для студентов педагогических вузов [4, гл. 6]. Разобраться с этим вопросом можно также и в книге, где проблемы доказательства и опровержения рассматриваются подробно [5, пп. 3.6.2.1, 3.7.1.2]. Проведенное там обоснование показывает, что при всей видимой легкости опровержения «приведением к абсурду» оно является полноценным доказательством, а именно, доказательством неправильности исходного суждения.

Таким образом, оба метода – и метод опровержения «приведением к абсурду», и метод доказательства «от противного» – являются доказательствами, однако в разных нишах: первый – разрушает тезис, второй же его утверждает; первый исходит из тезиса, второй – из антитезиса. Поэтому считаем неправомочным сравнение сложностей этих методов, проведенное А.В. Гладким [6, с. 107].

Заметим, что четкое разделение непрямых умозаключений отражено в программе по логике для студентов педагогического университета [7, с. 10]: «Непрямые умозаключения: а) сведение к абсурду; б) рассуждение от противного; в) рассуждение по случаям». Это обнадеживает.

3. Вульгаризация может привести к полной путанице. В своей работе «Математика – наука и профессия» А.Н. Колмогоров, очерчивая «реальное» содержание логического материала, которое имеет смысл вводить в среднее образование, явно высказал свою заботу, с одной стороны, о воспитании и развитии молодого поколения «рассуждающего здраво», с другой же стороны, о его здоровье – духовном и физическом, ибо ничто не наносит такого вреда растущему и развивающемуся организму, как перегрузки физические и интеллектуальные – даже информационной пользы от них нет, поскольку попытки проще изложить сложные вопросы могут привести к такой популяризации, которую скорее можно назвать вульгаризацией, «чрезмерная же вульгаризация здесь может привести к полной путанице» [8, с. 236].

В связи с этим заявлением А.Н. Колмогорова и как его подтверждение достаточно обратиться к переводной книге А. Купиллари «Трудности доказательств», где автор пытался в нескольких словах изложить логику доказательства «от противного» [9, с. 49–51] и при этом попытаться поставить себя на место ученика, искренне стремящегося постичь премудрости полюбившегося ему предмета. Анализ этого текста дан в нашей книге [5, c. 175–180].